Nivå A

1. Man vill köpa godis á 10 penni och á 20 penni för en mark. Hur många kan man köpa av vardera sorten? Ange alla möjligheter.

2. Man vill köpa godis á 20 penni och á 50 penni för fem mark. Hur många kan man köpa av vardera sorten? Ange alla möjligheter.

3. I en affär köper man två sorters bollar, den ena sorten kostar 12 mk och den andra sorten 8 mk. Totala priset är 92 mk. Hur många bollar av vardera sorten köptes?

4 Oskar är på väg till ett lopptorg där alla varor har ett pris som är en multipel av tio mark; t.ex. 50 mk, 190 mk, 330 mk. Oskar har i sin ficka 20 mk- och 50 mk- sedlar; 20 st av vardera. Den dyraste varan på lopptorget kostar 500 mk. Oskar är den första kunden och en försäljare på lopptorget har inga växelpengar.Vilka varor kan Oskar inte köpa av denna försäljare på grund av sina enbart jämna pengar?

Nivå B

5. På Diofantos grav sägs det finnas en text, av vilken man kan utröna hur gammal han var. I olika böcker finns det olika översättningar av denna text. Följande version finns i Perelmans bok, Intressant algebra:

Vandringsman! Här är Diofantos stoft begraven.
Och talen, vilket under, kan bringa dig ett budskap
om hur lång hans levnadstid var.
Diofantos tillbragte
en sjättedel av sitt liv i lycklig barndom,
en tolftedel i ungdom och ytterligare
en sjundedel som ungkarl.
Fem år efter hans giftermål föddes en son,
som dog fyra år före sin far,
hälften så gammal som fadern slutligen blev.
Sålunda: hur många år levde Diofantos?

I det följande finns en lösningsmodell på ett hävdvunnet exempel på diofantiska ekvationer:

En jordbrukare använde 100 guldmynt till att köpa 100 djur. Varje ko kostade 10 guldmynt, varje gris 3 guldmynt och varje får ett halvt guldmynt.Jordbrukaren köpte minst ett av varje djurslag. Hur många kor, grisar och får köpte jordbrukaren?

	antal	pris
kor	x	10x
grisar	y	3y
får	z	z/2
sammanlagt	100	100

	Ekvationen multipliceras med 2
	Eliminera z genom att subtrahera den övre ekvationen från den lägre.
19x + 5y = 100
5y = 100 - 19x	Dividera ekvationen med 5

Lösningarna till x, y och z bör vara heltal, varför 4x bör vara delbart med 5. Emedan 4 inte kan förkortas med 5, bör x vara delbart med 5.

x = 5 y = 1 z = 94 är en lösning; finns det flera?

x = 10, 15,20,.... y < 0 , dvs det lyckas inte, det finns inga andra lösningar.

6. Vad händer om en ko kostar 5 guldmynt, en gris 2 guldmynt och ett får ett halvt guldmynt?

7. Vad händer om en ko kostar 4 guldmynt, en gris 2 guldmynt och ett får ett tredjedels guldmynt?

8. För 10 mark borde man köpa 40 frimärken - 10 pennis-, 40 pennis- samt 1,20 mk- frimärken. Lyckas köpet?

9. Tre män är tillsammans med en apa skeppsbrutna på en ö. Första dagen använder männen till att samla kokosnötter för att trygga födan. Nötterna samlades i en hög.

Männen gick till vila ....
En av männen vaknade med onda aningar: vad händer, om de andra lurar mig vid fördelningen av nötterna... Mannen önskar trygga sin egen andel: han kastar en nöt åt apan som är vaken och delar resten av nötterna i tre lika stora högar. Han gömmer en av de tre högarna och ordnar de två övriga i en enda hög.

De två andra männen gör under nattens lopp på samma sett helt ovetande av varandra: en nöt åt apan, resten i tre lika stora högar, en av högarna göms och resten i en enda hög. Då männen vaknar på morgonen slänger de en nöt åt apan och delar resten av nötterna i tre lika stora högar.

Hur många nötter samlade männen den första dagen?

Nivå C

10. Sådana heltalstriader, som kan utgöra sidor i en rätvinklig triangel; t.ex. 3, 4, 5 och 5, 12, 13 kallas pythagoreiska tal. Visa att om m och n är positiva heltal, är 2mn, m² - n² , m² + n² pythagoreiska tal. Sök alla de pythagoreiska tal, i vilka talet 24 ingår.

11. Bestäm alla de möjliga rutade rätvinkliga trianglar, i vilka antalet kantrutor (gråa) är lika med antalet rutor (vita) i det inre fältet.

12. Talen 46 och 96 har sådana egenskaper, att produkten inte ändras, fastän siffer- följden i talen skulle ändra: 46 · 96 = 64 · 69. Hur många dylika tvåsiffriga talpar finns det?

13. Ett födelsedagsdatum ger talet 362, om dagen multipliceras med 12, månaden med 31 och dessa resultat adderas. Vilket datum är det fråga om?

14. Fem män är tillsammans med en apa skeppsbrutna på en ö. Första dagen använder männen till att samla kokosnötter för att trygga födan. Nötterna samlades i en hög.

Männen gick till vila ....
En av männen vaknade med onda aningar: vad händer, om de andra lurar mig vid fördelningen av nötterna...Mannen önskar trygga sin egen andel: han kastar en nöt åt den observanta apan och delar resten av nötterna i fem lika stora högar. Han gömmer en av de fem högarna och ordnar de fyra övriga i en enda hög.

De fyra andra männen gör under nattens lopp på samma sett helt ovetande av varandra: en nöt åt apan, resten i fem lika stora högar, en av högarna göms och resten i en enda hög.

Då männen vaknar på morgonen slänger de en nöt åt apan och delar resten av nötterna i fem lika stora högar.

Hur många nötter samlade männen den första dagen?

15. N män är tillsammans med en apa skeppsbrutna på en ö. Första dagen använder männen till att samla kokosnötter för att trygga födan. Nötterna samlades i en hög.

Männen gick till vila ....
En av männen vaknade med onda aningar: vad händer, om de andra lurar mig vid fördelningen av nötterna...Mannen önskar trygga sin egen andel: han kastar en nöt åt den observanta apan och delar resten av nötterna i N lika stora högar. Han gömmer en av de fem högarna och ordnar de övriga i en enda hög.

De andra männen gör under nattens lopp på samma sett helt ovetande av varandra: en nöt åt apan, resten i N lika stora högar, en av högarna göms och resten i en enda hög.

Då männen vaknar på morgonen slänger de en nöt åt apan och delar resten av nötterna i N lika stora högar.

Hur många nötter samlade männen den första dagen?

Svar

e-mail:
Erkki.Luoma-aho@oph.fi
Adressen:
Utbildningsstyrelsen/
Erkki Luoma-aho
PL 380
00531 Helsinki

Tillbaka till början av sidan