Vardagsmatematik

Nivå A

1. 3 + 5 = 8

2. F(13) = 233

3. a) F(3) = 2, b) F(4) = 3, c) F(10) = 55, d) F(20) = 6765

4. I uppgiften fanns ett tryckfel: F(21) är 10946 och inte 10496. Uträknat med det felaktiga värdet erhålls: F(22)= 28657 - 10496 = 18161; F(24) = F(22) + F(23) = 28657 + 18161 = 46818 och F(25)= 28657 + 46818 = 75475. Uträknat med det riktiga siffervärdet erhålls F(25) = 75025.

5. Resten vid division med två är antingen 0 eller 1. Talräckan av dessa rester är
1,1,0,1,1,0,1,1,0,...
Talräckan bör fortsätta framåt på samma sätt, emedan udda + udda = jämnt och jämnt +udda = udda.

6. Resterna bildar talräckan 1,1,2,3,0,3,3,1,4,0,...Antagande: var femte är delbar med fem. Tal delbara med fem kan inte följa efter varandra, varför resterna efter division med fem är 1,2,3 eller 4. Undersök i alla fall, hur talräckan av resterna fortsätter:
0,1,1,2,3,0, …
0,2,2,4,1,0, …
0,3,3,1,4,0, …
0,4,4,3,2,0, …

I alla fall är var femte tal delbart med fem.

7. a) Början av resternas talräcka är: 1,1,2,3,5,0,5,5,2,7,1,0, …Antagande: Var sjätte är delbar med åtta. Undersök alla möjligheter på samma sätt som i föregående uppgift:
0,1,1,2,3,5,0, …
0,2,2,4,6,2,0, …
0,3,3,6,1,7,0, …
0,4,4,0, … (en sådan talräcka kan inte förekomma, ty då skulle alla vara jämna)
0,5,5,2,7,1,0, …
0,6,6,4,2,6,0, …
0,7,7,6,5,3,0, …

b) Den första termen som är delbar med tio är F(15)= 610. Antagande: Var femtonde. Två efter varandra följande jämna tal finns inte, inte heller två efter varandra följande som är delbara med fem. Det räcker således att undersöka resterna 1,3,7,9:
0,1,1,2,3,5,8,3,1,4,5,9,4,3,7,0, …
0,3,3,6,9,5,4,9,3,2,5,7,2,9,1,0, …
0,7,7,4,1,5,6,1,7,8,5,3,8,1,9,0, …
0,9,9,8,7,5,2,7,9,6,5,1,6,7,3,0, …

8. a) Det lönar sig inte, b) det lönar sig: se till att du aldrig hamnar att ta av Fibonacci-talmängden, utan "tvinga" din motståndare i den situationen.

9. F(1) + F(3) = F(4), F(1) + F(3) + F(5) = F(6) osv. Detta kan fortsätta framåt: om du till båda sidorna adderar F(7), så får du F(1) + F(3) + F(5) + F(7) = F(6) + F(7) = F(8). Regeln F(1) + F(3) + F(5) + … + F(2n-1) = F(2n) gäller alltid.

10. De efterföljande summorna är 1, 1+1, 1+1+2, 1+1+2+3, 1+1+2+3+5, ..dvs 1,2,4,7,12,...
Genom att jämföra med den egentliga talräckan 1,1,2,3,5,8,13,... ser man, att F(1) = F(3)-1, F(1)+F(2) = F(4) - 1, F(1)+F(2)+F(3) = F(5) - 1, … , F(1)+F(2)+…+F(n) = F(n+2) - 1.

11. Om de två första av dessa tio tal är a och b, så är följande a+b, sedan b+(a+b) = a+2b, (a+b) + (a+2b) = 2a+3b, …
Addera alla dessa tio tal under varandra:

+a +b +a +b +a +2b +2a +3b +3a +5b +5a +8b +8a +13b +13a +21b +21a+34b 55a +88b = 11(5a + 8b).