Vardagsmatematik

Nivå A

1. Kl 10.30. Sanna har fått ett försprång på 5 km på en timme. Hanna cyklar 10 km längre på en timme, varför hon hinner upp Sanna redan efter en halv timme.

2. Musen hinner. Musen har till sitt hål 50 mussteg och katten 50 mussteg + 12 katt- steg, dvs 50 mussteg + 72 mussteg = 122 mussteg. Då musen springer 50 mussteg, så springer katten 20 kattsteg eller 120 mussteg. Musen hinner först till hålet.

3. Ungefär 5400 varv

4. a) 1,852 km b) ungefär 11 km/h.

Nivå B

5. 16 min.Helikoptern rör sig i förhållande till jordytan med hastigheten 150 km/h + 12 m/s = 150 km/h + 43,2 km/h.

6. 28 min. Helikoptern rör sig i förhållande till jordytan med hastigheten 150 km/h - 12 m/s = 150 km/h - 43,2 km/h.

7. Riktningen är ca 16,7° från norr mot öster. Ca 1 min långsammare. Riktningen och hastigheten i förhållande till jorden erhåller man från den rätvinkliga triangel, vars hypotenusa är 150 km/h och ena katet 43,2 km/h.

8. Ca 490 000

9. Ungefär 8 timmar. Skillnaden mellan longituderna är 101° + 19° = 120°. På en timme rör sig solen 360°/24 = 15°. Resultatet är dock inte noggrant, emedan skillnaden mellan latituderna inverkar en aning.

10. Fartyget rör sig 3000 km och måsen ca 5 m längre. Om jordens radie = R, rör sig fartyget sträckan och måsen sträckan .

11. 2200 m. Om AB = x, har fartyget A tillryggalagt sträckan 800 m vid första mötet. Härvid har fartygen tillsammans tillryggalagt sträckan x. Vid det andra mötet har fartyget A tillryggalagt sträckan x + 200 m. Härvid har fartygen tillsammans till- ryggalagt räknat från början tillsammans sträckan 3x, dvs x + 200 = 3 · 800.

12. Ungefär 18 min och 6500 m. Tiderna uttryckta i sekunder är: Heino: 1767,2 s och Viren 1658,4 s, varför deras hastigheter är: Heino: 5,66 m/s och Viren: 6,03 m/s. Viren löper på en sekund 0,37 m längre, vilket innebär att för ett försprång på 400 m behövs 400/0,37 sekunder.

Nivå C

13. Fartyget A, som rör sig med konstant hastighet är snabbare. Det andra fartyget behöver 1,25 % längre tid.

14. 16600 km. Mot väster 104° + 99° = 203°, varför sträckan blir kortare då man rör sig mot öster: 360° - 203° = 157°. Längden av den 18° breddgraden är 40000 cos18°, varför sträckan är 157/360 · 40000 cos180°.

15. (52° N , 21° E). Mot norr 1550/40000 · 360° och mot väster (140/40000 cos52°)· 360°

16. 4,4 km. Jordklotets radie = R. Upprita jordklotets radie till simmaren och iakttagaren. Genom att förena iakttagarens ögon med simmaren erhålls en rätvinklig triangel, i vilken den ena kateten = R och hypotenusa = R + 1,55 m. Beräkna med hjälp av cosinus storleken av den vinkel vid jordens medelpunkt som ingår i ovannämnda rätvinkliga triangel. Beräkna därefter motsvarande båglängd.

17. 26,5 km. Upprita jordradierna till jordens sydligaste och nordligaste spets samt därtill cirkelns tangenter i dessa punkter.Dessa tangenter skär varandra i en bestämd punkt. Genom att förena denna skärningspunkt med jordens medelpunkt erhålls två rätvinkliga trianglar.Vinkeln vid jordens medelpunkt är
(1160/2)/40000 · 360° = 5,22°.
Med hjälp av cosinus och jordens radie kan man beräkna hypotenusan c. Svar: c - R.

18. Med 15 min intervall. Måns ser under en timme totalt 60/20 + 60/12 = 8 tåg. I vardera riktning går 4 tåg i timmen.

19. 63 m, 216 m, 65 km/h. Om v = hastighet (km/h), så är reaktionssträckan = v/3,6 · 1,3 m = 0,36v.
Med hjälp av analogin b/45 = v² / 50² kan bromssträckan b beräknas, dvs b = 0,018v². Totala stoppsträckan ( uttryckt i meter) är 0,36v + 0,018v².

20. 72 min. Må x = den sträcka som Tage får sitta i bilen. Han vandrar resten av vägen 30 - x. Då Tomas och Tage samtidigt är framme har Tomas totalt vandrat sträckan 30 - x innan han får åka bil. Han vandrar 0,1x då Tage åker bil (gånghastigheten är 10% av bilens hastighet) varigenom då Tom återvänder vandrar han 30 - x - 0,1x = 30 - 1,1x.

Tom har då svängt i riktning mot Norrby sträckan x - (30-x) = 2x - 30. Bilens hastighet är tio gånger högre, varför 2x - 30 = 10(30 - 1,1x). Denna ekvation ger x = 330/13. Tiden är x/60 + (30-x)/6.

21. Ca 80 km österut. Först västerut (500/40000 cos60°) · 360° = 9° , sedan norrut (500/40000 · 360° = 4,5° varvid man når breddgraden 64,5°. Sedan österut (500/40000 cos64,5°) · 360° = 10,45°. Slutligen söderut 4,5°.

Slutresultatet är 1,45° österut, vilket uttryckt som sträcka är 1,45/360 · 40000cos60°.

22. a) 5610 km. Skillnaden i longitud = 65° och sträckan är 65/360 · 40000cos39°.
b) L = (4872, -859, 4006) och B = (1280, -4779, 4006).
c) 49,4°. Beräkna vektorernas skalära produkt utgående från resultaten i b) och använd definitionen på skalär produkt:

d) 5490 km. Beräkna 49,4/360 · 40000.