Tal, bråktal och decimaltal

Vad är ett tal för någonting? I de finländska familjerna brukar det vanligtvis finnas två barn enligt Statistikcentralen. Tecknet 2 anger det vanligaste barnantalet i Finland. Är sedan 2 samma sak som två? Talet två kan ju åskådliggöras även med två fingrar eller så att vi drar två lodräta streck ||. Tecknet 2 har uppstått efter en lång utvecklingsprocess som resulterade i 2 men den kunde lika väl ha resulterat i ع. Nu inser vi att ett tal är ett abstrakt begrepp.

Då vi anger barnantalet i en familj använder vi sådana tal som 0,1,2,3,4,... . De här talen bildar mängden av de naturliga talen som betecknas . Vi kan ta två tal ur mängden naturliga tal och multiplicera eller addera dem sinsemellan och det resultat som vi får är ett naturligt tal. Till exempel är och där betyder att 225 tillhör mängden naturliga tal.

Om utetemperaturen är 3 °C och kölden ökar med fem grader klarar vi oss inte mera med de naturliga talen. Alltså som betyder att differensen av talen 3 och 5 inte tillhör de naturliga talens mängd. För att kunna göra den här subtraktionen möjlig måste vi utöka mängden av de naturliga talen med negativa heltal. Så får vi mängden av hela tal . . Nu är .

Den finländska modellfamiljen med mamma, pappa och två barn hade bestämt sig att beställa två familjepizzor hem till sig. Alla familjemedlemmmar var lika hungriga. De utförde divisionen och pizzorna delades så att varje medlem fick en halv pizza. Resultatet kunde inte åskådliggöras med hjälp av de hela talen. Alltså . För att kunna göra alla divisioner utom divisionen med 0 möjliga måste vi utöka mängden av de hela talen med bråktal som utgör kvoten av två heltal. Mängden av de rationella talen betecknas med något som utläses enligt följande: Mängden av de rationella talen består av kvoten av talen m och n, där m och n kan väljas fritt ur de hela talens mängd med det undantag att n inte får vara talet 0.

Den finländska modellfamilj som hade beställt pizza hem till sig hade ett runt bord med diametern 1 m i köket och ett kvadratiskt bord med sidan 1 m i vardagsrummet. Dottern fick i uppgift av sin mamma att mäta diagonalen av det kvadratiska bordet. Sonen fick i uppgift av sin pappa att mäta omkretsen av det runda bordet. Föräldrarna ville ha ett rationellt tal i resultat något som var omöjligt fast barnen först använde ett måttband med en centimeters noggrannhet och sedan ett måttband med en millimeters noggrannhet. Sist utnyttjade dottern ännu exaktare mätningsmetoder med laserteknik men ett rationellt mätetal som resultat uteblev.

Figur 1.

Sist och slutligen kunde sonen bestämma omkretsen av bordet med hjälp av definitionen för talet pi. Dottern däremot kunde bestämma diagonalen med hjälp av Pythagoras sats (Figur 1.). De av barnen bestämda resultaten är inte rationella tal, för att de inte kan uttryckas som kvot at två hela tal. Så gäller det att . och är exempel på så kallade irrationella tal. Då vi kompletterar mängden av de rationella talen med irrationella tal får vi mängden av de reella talen .

Har du förstått? I

Vilket av följande påståenden är sant?

a) Alla naturliga tal är rationella tal. b) c)

Decimaltal

Ett decimaltal är ett tal som innehåller ett decimaltecken följt av en eller flera decimaler. I Finland och Sverige är decimaltecknet kommatecknet , men i USA används punkt i stället för decimalkomma, till exempel . Ett decimaltal är ett rationellt tal som med ett ändligt antal siffror kan skrivas i decimalform. Till exempel är 1/4 decimaltalet 0,25 men bråktalet 1/3 är inte ett decimaltal för att där blir antalet treor efter decimaltecknet oändligt. Hela tal är också decimaltal. Siffrornas betydelse i ett decimaltal framgår av figur 2.

Figur 2.

Enligt figur 2 kan talet 648,751 tolkas . Det här positionssystemet kallas decimalsystemet, även kallat tiosystemet, med basen 10 och siffrorna 0,1,2,...,9. Talet 648,751 kan skrivas i tiopotensform enligt följande: . Det finns även andra system än tiosystemet. Till exempel i ett binärt talsystem har vi två som bas och endast siffrorna 0 och 1. Det binära systemet används särskilt inom datateknik. Till exempel är det binära talet 1010 talet 10 i tiosystemet för att .

Bråktal

De rationella talen består av alla sådana tal som går att skriva i bråkform. I bråkformen har vi täljaren uppe och nämnaren nere. Till exempel i bråktalet är täljaren 3 och nämnaren 4. Bråktalet kan skrivas i blandad form . Om vi förlänger ett bråktal multiplicerar vi både täljare och nämnare med samma tal. Om vi förkortar ett bråktal dividerar vi både täljare och nämnare med samma tal. De här operationerna ändrar inte bråkens värde.

Exempel 1. a) Förläng med 4. b) Förkorta med 10. c) Skriv bråktalet i blandad form.

a)

b)

c)

Om vi får ett bråktal i svar skriver vi bråket alltid i enklaste form.

Exempel 2. Skriv i enklaste form a)b) .

a) 12 är en gemensam faktor för 12 och 60. Så är

b) är redan i enklaste form för att 13 och 57 inte har gemensamma faktorer större än 1.

Har du förstått? II

förkortat i enklaste form är a) b) c)

Från decimaltal till bråk och tvärtom

Alla decimaltal kan skrivas i bråkform.

Exempel 3. Skriv 1,78 i bråkform.

Exempel 4. Skriv 0,123123123,... i bråkform.

Talet 0,123123123,... har en oändlig periodisk decimalutveckling med perioden 123. Detta kan även betecknas . Vi betecknar det sökta talet med x.

Vi multiplicerar ekvationen med 1000 för att perioden har tre siffror. Om perioden hade endast en siffra skulle vi multiplicera med 10. I fall av en tvåsiffrig period skulle vi multiplicera med 100 och så vidare.

Nu får vi

Sedan subtraherar vi talet x från talet 1000x. Då blir differensen mellan de oändliga decimalen ändlig:

Då vi dividerar båda leden med 999 får vi .

Vi kan kontrollera vårt resultat genom att slå in på fickräknaren.

Vi kan skriva bråk i decimalform genom att förlänga så att nämnaren blir en potens av 10. Om den här metoden inte fungerar måste vi utföra en division i uppställning eller med räknare. Alla bråk kan inte skrivas i decimalform.

Exempel 5. Skriv a) b) c) d)i decimalform

a) b) c) Vi dividerar 5 med 8 och får 0,625. d) Bråket kan inte skrivas i decimalform för att det inte går att förlänga nämnaren till 10, 100 eller 1000. Då vi räknar med uppställning märker vi att divisionen 1/9 inte går jämnt upp. Vi får en kvot som består av idel ettor. . Resultatet blir i det här fallet en oavslutad periodisk decimalutveckling 0,111... som har ett närmevärde 0,11 med två decimaler.

Räkneoperationer med bråktal

Addition och subtraktion med bråktal

Vi förlänger bråken så att de får samma nämnare. Därefter adderar vi täljarna och förkortar vid behov.

Exempel 6.

Den gemensamma nämnaren 12 i föregående exempel valde vi därför att 12 utgör minsta gemensamma multipeln till 6 och 4. Det skulle också ha varit möjligt att förlänga "korsvis", med 4 och med 6:

Har du förstått? III

Bråken och förlängs så att de får samma nämnare. Den minsta gemensamma multipeln till 6 och 8 är a) 48 b) 12 c) 24

Har du förstått? IV

Differensen av de rationella talen och kan betecknas
a)

b)

c) .

Multiplikation av bråktal

Vi multiplicerar täljarna med varandra och nämnarna varandra och utför vid behov förkortning.

Exempel 7.

Division av bråktal

Innan vi kan behandla division av bråktal repeterar vi begreppet inverterat tal. Om produkten av två tal är 1 är talen varandras inverterade tal. Alla tal utom noll har ett inverterat tal. Det inverterade talet till ett givet tal bestäms så att det givna talet skrivs i bråkform. Därefter byts platserna av täljare och nämnare sinsemellan.

Exempel 8. Bestäm det inverterade talet till a) 12 b) c) d)

a) . Det inverterade talet till 12 är .

b) Det inverterade talet till är , .

c) Det inverterade talet till är

d) . Det inverterade talet till är , .

I division av bråktal multiplicerar vi det första bråket med det andras inverterade tal och förkortar vid behov. Med andra ord byter vi divisionen till multiplikation med divisors inverterade tal.

Exempel 9.

Har du förstått? V

i)är a) b) c) .

ii) är a) b) c)

Begreppsfrågor I

1. Vad är ett tal för någonting?

2. Vad är differensen mellan decimaltal och tal med oändliga periodiska decimalutvecklingar?

3. Man kan skriva talet i bråkform och vidare i blandad form . Vilket tecken har utelämnats mellan och ?

4. Kan alla decimaltal skrivas i bråkform?

5. Hur multipliceras två bråktal med varandra?

6. Hur utförs division av två bråktal?

7. Vad menas med förlängning/förkortning av bråktal?

Uppgifter

1. Ange den minsta av talmängderna och som talet hör till

a) 1 b) c) d) -1,25 e) -2,000 f) 0 g)1,0

2. Vilka av följande påståenden är sanna?

a) b) c) d) e) f)

3. Skriv i bråkform a) 0,333... b) 1,1666... c) 0,33 d) 1,16 e) f) 13

4. Skriv följande talen i blandad form.

a) b) c) d) e) f) g)

5. Skriv i decimalform

a) b) 0,444... c) d) e) f) g)

6. Ange de inverterade talen till talen a) 4 b) c) 0 d) e) k f) 1.

7. Bestäm a) summan b) differensen c) produkten d) kvoten av de rationella av talen och .

Utför räkneoperationerna i uppgifterna 8-12

8. a) b) c) d) e) f)

9. a) b) c) d) e)
f)

10. a)b) c) d)

e)

11. a)b) c)

d)

12. a) b)
c)

d)

13.* a) Är 0,999...=1?

b) Är 0,999999999999999999999=1?

c) Visa att roten till ekvationen inte är ett rationellt tal. Tips: Gör ett motantagande enligt vilket den givna ekvationen har en rot av formen , där och där m,n inte har några andra gemensamma faktorer än 1 eller -1.