Grundbegrepp om polynom

Ett polynom är ett uttryck som kan skrivas som summan av ett antal termer. Ett polynom som består av endast en term kallas monom, av två termer binom och av tre termer trinom. Ett polynom kan inte innehålla någon variabel i sin nämnare. Till exempel är ett trinom i variabeln x och ett binom i variabeln k. är inte ett polynom därför att variabeln k finns i uttryckets nämnare. Polynomet utgör summan av termerna , och . Talen 3,-2 och 4 kallas koefficienter. Den term som inte innehåller någon variabel kallas konstant. I polynomet är 4 en konstant term. Termens grad i ett polynom är variabelns exponent. Graden av ett polynom är exponenten i högsta gradtermen. Termerna i ett polynom ordnas efter fallande grad.

Exempel 1. Polynomet är givet. a) Ange varje terms grad. b) Vilken

grad har polynomet? c) Vilka koefficienter har termerna i polynomet?

d) Ordna termerna i polynomet efter fallande grad.

Termerna är , , och . Termernas grader är 1,3,0 () respektive 2. Den högsta gradtermen har exponenten 3. Så är polynomets grad 3. Termerna , , och har koefficienterna 2, -5, 6 respektive -1. Då vi ordnar polynomet efter fallande grad får vi .

Har du förstått? I

Polynomet har koefficienterna

a) ,,och b) 2,-5,7 och -1 c) 1,4,0 och 2

Har du förstått? II

Polynomet har variablerna

a) x och y b) x,y och a c) a.

Har du förstått? III

Polynomet har graden a) 2 b) 0 c) 4.

Räkneoperationer med polynom

Sammanslagning av likformiga termer

Termer med exakt samma bokstavsuttryck (variabeldel) kallas likformiga termer. Likformiga termer skiljer sig endast genom sifferkoefficienterna. Likformiga termer i ett polynom kan sammanslås något som vi gör då vi förenklar ett polynom. Vid sammanslagningen adderas koefficienterna. Variabeldelen förblir densamma.

Exempel 2. Låt . Hyfsa polynomet.

betyder att vi har ett polynom i variablerna a,b och c. Vi kan sammanslå likformiga termer och skriva polynomet efter fallande grad.

Har du förstått? IV

Polynomet hyfsat är

a) b) c)

Nollstället till ett polynom och beräkning av ett polynoms värde

Låt . Värdet av polynomet för ett bestämt x-värde a betecknas och i det här fallet är . Det variabelvärde, för vilket ett polynom (i en variabel) antar värdet 0, kallas polynomets nollställe. Polynomet har nollstället för att .

Exempel 3. Bestäm då . Är ett nollställe för ?

. är ett nollställe för eftersom .

Har du förstått? V

Polynomet har nollstället a) 0 b) -1 c) 1

Har du förstått? VI

Låt . Då är a)b) c)

Summan av polynom

Låt och . Summan av polynomen ochär .

Differensen av polynom

Låt och . Differensen av polynomen ochär .

Produkten av polynom

Låt och . Produkten av polynomen och är

=

=

=

Vid bestämning av produkt använde vi termvis multiplikation och räkneregler för potenser. Därefter sammanslog vi likformiga termer.

Kvoten av polynom

Låt och . Kvoten av polynomen ochär

Har du förstått? VII

i) Differensen av polynomen och är a) b) 0 c)

ii) Summan av polynomen och är a) b) 0 c)

iii) Produkten av polynomen och är a) b) 0 c)

iv) Kvoten av polynomen och är a) b) 0 c)

Division av polynom med uppställning

Redan på skolans lägre klasser har vi lärt oss att dividera med uppställning. Polynomdivision med uppställning fungerar precis på samma sätt, men nu motsvaras siffrorna i talen av termerna i polynomen. Vi belyser division av polynom med uppställning med följande exempel.

Exempel 4. Dividera med uppställning .

Vi ordnar först termerna i täljaren enligt fallande grad. Så får vi .

Den första termen i kvoten har vi fått genom att undersöka hur många gånger första termen i nämnaren () ingår i första termen i täljaren (). Vi får för att .

Sedan multiplicerar vi hela nämnaren med . Därav får vi något som vi skriver under täljaren så att likformiga termer blir under varandra.

Därefter subtraherar vi genom att byta alla förtecken i och sammanslå likformiga termer.

Differensen är 12a.

Sedan flyttar vi följande term i täljaren ner. Nästa term i kvoten har vi fått genom att undersöka hur många gånger termen ingår i . Vi får för att .

Nu är vi nästan färdiga. Vi utför bara multiplikation, teckenbyte och sammanslagning.

Vi märker att divisionen går jämnt ut. Alltså .

Vi kontrollerar vårt resultat med hjälp av multiplikationen

.

Exempel 5. Alla polynomdivisioner går inte jämnt ut. Då vi dividerar med får vi

Alltså

Vi kan undvika polynomdivision med uppställning om divisorn i kvoten är ett monom. Ett polynom dividerar vi med ett monom termvis. Division med uppställning använder vi endast om divisorn är ett binom eller ett polynom med flera termer.

Exempel 6. Bestäm kvoten .

Har du förstått? VIII

förenklat är a) b) c) . Utför divisionen även med uppställning. Går divisionen jämnt ut? Om inte bestäm resten.

Begreppsfrågor III

1. Vad är ett polynom för någonting? Ge exempel på polynom.

2. Hur skiljer sig monom, binom och trinom från varandra. Ge exempel på vartdera begreppet.

3. Hurdana termer är likformiga termer? Ge exempel på likformiga termer.

3. Vad kan man göra åt likformiga termer i ett polynom?

4. Vad avses med nollstället till ett polynom? Hur bestäms det?

5. Hur beräknas värdet av ett polynom?

6. Förklara allmänna principer vid division av polynom med uppställning.

7. I hurdana situationer kan polynomdivision med uppställning undvikas?

Uppgifter

1. Fyll i tabellen nedan.

2. Bestäm polynometsa) konstantterm b) grad c) andragradsterm d)värde för e) värde för f) värde för .

3. Skriv termerna i polynomet .

4. Ordna termerna i polynomet .

5. Låt . Bestäm .

6. Låt . Bestäm .

7. Låt . Bestäm tre värdepar sådana att

8. Förenkla följande uttryck a) b) c)
d)

9. Bestäm så att .

10. För vilket värde på variabeln får polynomet värdet ?

11. a) Beräkna omkretsen och arean av rektangeln i figur 3.

b) Beräkna volymen av lådan i figur 3.

Figur 3.

12. Låt och . För vilket värde på x är ?

13. Låt och . Bestäm a) nollställena till och b) summan, differensen, produkten och kvoten av och .

14. Utför divisionerna a) b) c) d) .

15. Utför divisionerna med uppställning. a) b) .

16. Utför divisionerna med uppställning. a) b) .

17.* Anta att . Bestäm a) b) c) .