En linjes ekvation

En linjes ekvation kan framställas i koordinatsystemet. Koordinatsystemet består av x-axeln och y-axeln. X-axeln är vågrät och y-axeln lodrät. Axlarna skär varandra i origo och står vinkelrätt mot varandra. Vi börjar med att behandla en linjes ekvation med hjälp av figur 7 och dess bildtext.

Figur 7.

Grafisk lösning av ekvationssystem

Vår uppgift är att grafiskt framställa ekvationerna och i koordinatsystemet samt undersöka om det i koordinatsystemet finns sådana punkter som satisfierar båda ekvationerna.

Alla punkter för vilka gäller att summan av x- och y-koordinaterna är 2 ligger på linjen . Alla punkter för vilka gäller att y-koordinaten är lika stor som x-koordinaten ligger på linjen . På linjen har vi oändligt många sådana punkter vars koordinater har summan två. På linjen y=x har vi oändligt många sådan punkter som har samma y-koordinat som x-koordinat. och är båda ekvationer med två variabler. Grafer av deras lösningar är linjerna respektive .

Då vi löser ut y ur ekvationen får vi . Vi kan rita linjerna och i koordinatsystemet genom att välja tre x-värden, och beräkna motsvarande y-värden genom insättning i ekvationerna. X- och y-värdena sätts in i en värdetabell. Så får vi punkterna A, B och C på linjen och punkterna D, E och F på linjen som vi placerar ut i koordinatsystemet. Det lönar sig att välja x-värdena så att talen är möjligast små. Så blir uträkningarna lätta. Den tredje punkten på linjen räknar vi ut bara för att kunna kontrollera om vi har bestämt de två första punkterna rätt. Om punkterna ABC samt DEF ligger på varsin räta linje, är det högst sannolikt att vi har kunnat utföra uträkningarna rätt.

Ekvationen

Ekvationen

Nu placerar vi punkterna A, B, C, D, E och F ut i koordinatsystemet. Det har vi gjort i figur 8.

Figur 8.

Vi ser ur figur 8 att linjerna skär varandra i en enda punkt (1,1) som motsvaras av talparet . Det här talparet satisfierar både ekvationen och för att och . De båda ekvationerna kan vi skriva i formen . Det här kallar vi ett ekvationssystem. Systemet har lösningen . Systemet löste vi grafiskt ovan. Vi ritade ekvationernas motsvarande grafer och avläste skärningspunktens koordinater.

Exempel 1. Lös grafiskt a) b) c)

Vi löser alla ekvationer med avseende på variabeln y och ritar ekvationernas motsvarande grafer i koordinatsystemet. Resultatet ser vi i figur 9.

a) Ur figur 9 ser vi att linjerna 2x-y=2 och y=2x-2 sammanfaller. Det är frågan om en och samma linje. Oändligt många talpar satisfierar det givna systemet. Systemet har lösningen

b) Vidare ser vi att linjerna och är skilda parallella linjer som inte har några gemensamma punkter. Inga talpar satisfierar det givna systemet. Systemet saknar lösning.

c) Ur figuren kan vi avläsa att skärningspunkten är (3,1). Så har systemet lösningen .

Figur 9.

Har du förstått? I

Systemet har oändligt många lösningar. Ekvationernas motsvarande linjer a) är skilda parallella linjer b) sammanfaller c) har en gemensam punkt.

Har du förstått? II

Systemet har en lösning. Ekvationernas motsvarande linjer

a) är skilda parallella linjer b) sammanfaller c) har en gemensam punkt.

Har du förstått? III

Systemet saknar lösningar. Ekvationernas motsvarande linjer a) är skilda parallella linjer b) sammanfaller c) har en gemensam punkt.

Algebraisk lösning av ekvationssystem

Det är jobbigt att lösa ekvationssystem grafiskt. Ibland kan vi få en skärningpunkt som inte har heltalskoordinater och då är det definitivt frågan om en närmevärdeslösning. För att kunna lösa ekvationssystem exakt använder vi den algebraiska lösningsmetoden.

Additionsmetoden

I additionsmetoden multiplicerar vi ekvationerna i systemet med sådana koefficienter att den ena eller den andra variabeln försvinner när vi adderar eller subtraherar ekvationerna ledvis. Vi får en summaekvation med en variabel. Vi löser den och får variabelns värde. Detta sätter vi in i någon av de ursprungliga ekvationerna. Genom att lösa den får vi värdet på den andra variabeln.

Exempel 2. Lös systemet med additionsmetoden.

Vi multiplicerar den nedre ekvationen med 3.

y löser vi genom att insätta i .

Svar:

Insättningsmetoden

I insättningsmetoden löser vi den ena ekvationen med avseende på den ena variabeln. Därefter sätter vi in uttrycket för den ena variabeln i den andra ekvationen. Vi får en ny ekvation med endast en variabel som vi kan lösa. Den andra variabeln får vi så att vi sätter in den ena variabeln i någon av de ursprungliga ekvationerna.

Exempel 3. Lös systemetmed insättningsmetoden.

Vi löser ut y ur den övre ekvationen:

Sedan insätter vi i den nedre ekvationen :

║:7

Nu insätter vi i : Svar: .

Har du förstått? IV

i) Systemet kan bäst lösas genom att använda a) additionsmetoden

b) insättningsmetoden

ii) Lös systemet.

Har du förstått? V

i) Systemet kan bäst lösas genom att använda a) additionsmetoden

b) insättningsmetoden

ii) Lös systemet.

Har du förstått? VI

Lös systemet både grafiskt och algebraiskt. Systemet har lösningen

a) b) c)

Begreppsfrågor VIII

1. Hur ritar man en linje i koordinatsystemet?

2. En linjes ekvation är grafiskt framställd i koordinatsystemet. Det vill säga att grafen till linjen har ritats i koordinatsystemet. Hur kan man avläsa linjens ekvation ur figuren?

3. Vad är ett ekvationssystem?

4: Förklara kort hur man löser ekvationssystem grafiskt.

5. Vilka dåliga sidor har den grafiska lösningsmetoden av ekvationssystem?

6. Konstruera och lös ett enkelt ekvationssystem som ansluter sig till det vardagliga livet.

7. Jämför additionsmetoden och insättningsmetoden vid algebraisk ekvationslösning.

Uppgifter

1. Rita linjerna a) b) c) d)

i koordinatsystemet.

2. Lös systemet a)b) grafiskt.

3. Lös systemet a) b) c)

4.Lös systemet a) b) c)

5. Använd figur 7 i den här uppgiften.

a) Bestäm ekvationen för .

b) Bestäm det ekvationssystem som fås av och och lös systemet.

c) Bestäm det ekvationssystem som fås av linjerna x=-3 och .

Lös systemet och kontrollera resultatet grafiskt.

d) Bestäm ekvationerna för och . Bestäm skärningpunkten mellan

och .

6. Lös systemet a) b) c) .

7. Systemet kan skrivas på formen och vidare . Skriv som ekvationssystem och lös systemet.

8. Undersök om linjerna a) , och

b) , och

c) , och

skär varandra i en och samma punkt. Tips: Det lönar sig att

undersöka om två av linjerna skär varandra genom att bilda ett ekvationssystem och bestämma den möjliga skärningspunkten. Därefter ska man undersöka om den erhållna skärningspunkten satisfierar den tredje av ekvationerna.

9.* Lös systemet . Tips det lönar sig att insätta och .

Lös sedan ut x och y och därefter a och b.